9.6. Производные основных элементарных функций

Производные степенной, показательной, логарифмических функций получены в пп. 9.1 и 9.5.

Производные тригонометрических функций (sin х)' = cos x, (cos х)' = -sin х,

Производную у = sin x найдем с помощью определения производной и I замечательного предела:

Производная у = cos х находится с помощью формул приведения и производной функции:

Производные у = tg х, у = ctg x могут быть найдены как производные частного. Например,

Производные обратных тригонометрических функций:

Т: Пусть функциявозрастает (убывает) на

дифференцируема внутри промежутка и Тогда существует возрастающая (убывающая) надиф-

ференцируемая обратная кфункцияпричем

Первая часть теоремы о существовании непрерывной функциигеометрически очевидна (рис. 9.3).

Выведем формулу для производной. По определению

Рис. 9.3

В цепочке равенств использовали — непрерывна).

Получим теперь формулу для производной функции у = arcsin х.

Рассмотрим главное значение функции:Она является

обратной к х = sin у, которая возрастает и дифференцируема на

причемПо теореме об обратной

функции имеем

Найдем формулу для производной у = arctg x, главное значение которойПользуясь теоремой об обратной функции, получаем

Для функций у = arcccos х, у = arcctg х производим аналогичные действия.

12 июля 2010

• Опорный конспект № 9
• 9.2. Геометрический смысл производной
• 9.4. Свойства операции дифференцирования