9.5. Производная сложной функции. Логарифмическая производная

Т: Если функциядифференцируема в т. z, а

дифференцируема в т. х, то функциядифферен-

цируема в т. х и или

По определению производной, используя теорему о пределе произведения, имеем

В силу непрерывности дифференцируемой функции при по определению непрерывности O.1 приращениеи

Пример: у = sin z, z =

Если прив некоторых точкахто теорема остает-

ся верной [3. С. 82].

Частным случаем полученной формулы является так называемая логарифмическая производная

С помощью логарифмического дифференцирования получим производные степенной и показательной функций:

а)

Действительно, пусть х > 0, тогдат.е.

(формула сохраняется и

при х < 0, если)

б)

Действительно,т.е.

(в частности,).

Выведем тем же методом формулу для вычисления производной показательно-степенной функцииоснование и показатель степени которой являются функциями от х. Возьмем логарифмическую производную от обеих частей:

Примеры: 1)

2)

12 июля 2010

• 9.1. Определение производной, ее физический смысл
• 9.3. Существование производной и непрерывность