9.1. Определение производной, ее физический смысл

Рассмотрим задачу об определении скорости движения точки. Пусть материальная точка совершает неравномерное прямолинейное движение по законугде t обозначено время, s — путь. Средняя скорость движения за время будет

Чем меньшетем точнеебудет характеризовать скорость в момент времени t, поэтому скоростью в момент времени t называют

(9.1)

Перейдем теперь к основному понятию высшей математики — понятию производной.

О: Пустьопределена в окрестности т. х. Тогда, если

то он называется производной функции и обозначаетсяОперация нахождения производной функции называется дифференцированием.

Другие обозначения производной:

О: (Функцию, имеющую производную в каждой точке интервала (а, b), называют дифференцируемой на интервале {а, b).

Сравнивая формулу (9.1) скорости движения точки и определение производной, получаем физический смысл производной:

т.е. скорость прямолинейного неравномерного движения равна производной от пути по времени.

Примеры: Пользуясь определением, найти производную функций: 1)2)

1)

Используя II замечательный предел для выражения в квадратных скобках, получаемв частности

2)

12 июля 2010